导数

定义：我们把x在一段极小趋近于0（有限小）的时间内变化的量称为dx，记住是极小的时间而不是无穷小

那么函数 $f(x)$ 的导数便是： $\dfrac{df}{dx}$ ，可以简记成 $f'(x)$

当然导数有多种求法，一种是代数求法，还有一种几何求法，就比如指数函数，都可以用……（抽象成几何体就好了

函数之间的导数关系：

函数相加：两个函数加起来的导数就等于两个函数的导数之和
函数相乘：两个函数乘起来就等于 $g(x)\dfrac{dh}{dx}*h(x)\dfrac{dg}{dx}$ ，简单来说：左乘右导，右乘左导
复合函数：复合函数的导数就需要用到链式法则了： $\dfrac{d}{dx}g(h(x)) = \dfrac{dg}{dh}(h(x))\dfrac{dh}{dx}(x)$ 。右边式子的左边g函数关于h函数的导数，就可以直接把g的导数的x换成 $h(x)$ 就好了然后就可以求了

指数函数求导：

对于指数函数来说，拿 $2^x$ 举例子吧，我们会发现，在每一秒的时候，这个函数的增长量为它本身，这……巧合？

我们来推一下式子：

$\dfrac{2^{x+dx}-2^x}{dx} = \dfrac{2^x2^{dx}-2^x}{dx} = 2^x*\dfrac{2^dx-1}{dx}$ 我们发现……它的增长量就是它本身乘上一个常数……同理所有的指数函数都是这个样子的

那么我们有一个小疑问：会不会有谁的这个常数等于1呢？

有的，这个数字就是自然对数的底数：e

为什么呢？（因为人家就是这么定义的别问为什么，人家咋算的你也别问我我也不会

那么我们想 $e^{3t}$ 的导数是多少呢？这里就要用到链式法则了，我们把一个函数 $g(x)$ 记为 $e^x$ ，另一个 $h(x)$ 记为 $3t$ 那么这个函数的导数就是： $3e^{3t}$ 动动脑自己算一下

那么就说明 $e^{qx}$ 的导数就是 $qe^{qx}$ 那么……2是e的多少次方呢？我们会想到自然对数ln(2)

那么 $2^x$ 的导数就很好求了： $ln(2)2^x$ 就出来了

隐函数求导/隐微分

隐函数：满足某种关于变量x和y的性质，所有(x,y)点的集合

我们就先考虑一个半径为5的圆的表达式把： $x^2+y^2 = 5^2$

这个函数的导数应该怎么求呢？

首先我们知道导数象征着变化量对吧，那么两个一样的函数导数应该相同对吧

那么：左边的导数和右边的倒数应该是相同的对吧： $2xdx+2ydy = 0$ 这是不是就是xy变化的式子，那么我们变个形，移项一下： $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$ 对吧，那么我们就知道了这个函数的导数对吧，即比如x = 3,y = 4的时候导数就是 $-\dfrac{3}{4}$

那么这就是隐函数求导的一个方面

极限

极限即为不断逼近，那么我们会发现上面导数的一个dx就是在不断地逼近，那么导数在极限的意义下表达式是多少呢？

$\lim \limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(h)}{h}$ 就是导数的正式定义，前面的东西就是h不断逼近0

将取值范围在极限点附近收缩，然后观察函数值是否收缩以及其收缩后的范围的方法就是所谓的极限的 $\epsilon-\delta$ 定义

考虑到比如一个函数的极限值是12，那么我们习惯上用希腊字母 $\epsilon$ 来代表一段距离（12上下）这段距离大小无所谓，极限存在的前提是，你总能在集贤殿附近，离0点距离为某 $\delta$ 的取值范围内，找到一系列取值点，使得范围内的任一取值点，它的函数值都处在距离12为 $\epsilon$ 的范围之内，关键就是，这种情况对于任意 $\epsilon$ 都成立，无论 $\epsilon$ 多小，你总能找到与其对应的 $\delta$ 的值

这个东西可以用在连续的定义上，连续的定义就是在一段连续的被定义的区间内，每个点都满足极限的条件（我理解的嗷不是书面定义

洛必达法则：对于一个类似于0/0的极限来说，我们可以分别求出分子分母两个位置的导数然后相除，就可以得到极限

积分，求导的逆运算

原函数：如果一个函数的导数是f(x)那么这个函数就可以被称为f(x)的原函数

$\int_{0}^{8}v(t)dt$ 表示v(t)在0s-8s的积分

原函数有无限个，随便加常数项的导数都不变

但是我们会发现，积分是有下限的，如果积分在起点的话，那么说明积分为0，就可以知道我们需要用的是那个原函数了，或者说我们利用前缀和的思想，计算的时候减去原函数在下限处的值就可以了，那样我们就可以不考虑常数项了对吧

并且，积分算的是有符号的面积而不是单单指的面积和

高阶导数

二阶导数： $\dfrac{d(\dfrac{df}{dx})}{dx}$ 简记为： $\dfrac{d^2f}{dx^2}$

高阶导数在记录的时候并不会把下面的d的指数记录上，因为d本身就不是一个可以相乘的东西

泰勒级数

如果一个函数 $f(x)$ 在x = x0的时候有任意阶导数的话

则 $f(x)$ 在点x0处的泰勒级数为 $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

同时这也是函数在 $x_0$ 处的最佳近似多项式

泰勒级数收敛到 $f(x_0)$ ，泰勒级数能让多项式和收敛的最大范围叫做泰勒级数的收敛半径

每增加一项，就会让 $x_0$ 点附近的曲线变化率更接近原函数