群论
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群论初步 学习笔记

群 定义

一个集合被称为群当且仅当它满足以下四个条件：

  1. 具有乘法封闭性，即：任意的 a,b∈G,a∗b∈Ga,b\in G,a*b\in G

  2. 具有结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c)( a * b ) * c = a * ( b * c )，左右乘是两个不一样的定义

  3. 具有幺元e：对于任意的 a∈Ga\in G 都有 e∗a=a,a∗e=ae * a = a , a * e = a 还是，左右乘定义并不一样

  4. 具有逆元：即：对于任意的 a∈Ga\in G 都存在一个inv使得 a∗inv=e,inv∗a=ea * inv = e , inv *a = e

普通的以 ∗* 代指

然而还有另外的就是：一个群并不一定满足交换律 ，但是存在着满足交换律的群，我们称之为Abel群运算符号以代指，幺元记为0

  1. 子群:群G的子集H满足上述四条公理那我们们称之为群G的子群，因此：HG，并且幺元不变
    陪集分解：群G，子群H，g∈Gg\in G，gHgH 为左陪集，HgHg 为右陪集

子群检验法（subgroup test）是群G的子集H是子群的充分必要条件：对于所有元素 g∈G,h∈Hg\in G,h\in H 只需检查 g−1⋅h∈Hg^{-1}\cdot h\in H。

引理：对于任意的 h∈H,g∈G g⋅H=g⋅h⋅Hh\in H,g\in G~g\cdot H=g\cdot h\cdot H

任意两个陪集aH，bH满足以下两个条件之一

  • aH=bH
  • aH∩bH=ϕaH\cap bH =\phi
  1. 拉格朗日定理：对于任意的 g∈G∣gH∣=∣H∣,∣H∣整除于∣G∣g\in G |gH|=|H|,|H|整除于|G|

一个群进行陪集分解之后得到的子群个数为 [G:H][G:H]，称为H的指数

∣G∣=[G:H]∣H∣|G|=[G:H]|H|

  1. 对称群/置换群：对于一个集合，我们将其中的元素都用一个 1…∣G∣{1…|G|} 中的数映射，这些映射是会在复合意义下构成一个群的。记为 SnS_n 以 (a1,a2…an)(a_1,a_2…a_n) 代指这个群中的元素，对称群的映射是可以构成若干个并不会相交的环的叫做轮换

  2. 群作用：群G和集合X，G*X表示任意的 g∈G x∈Xg\in G~x\in X 二元组​ (g,x)(g,x) 构成G和X的笛卡尔积。是满足结合律的，

满足两个条件：1G∗x=x,∀x∈X1_G * x = x , \forall x \in X,g1∗(g2∗x)=(g1∗g2)∗x,∀g1,g2∈G,x∈Xg_1 * ( g_2 * x ) = ( g_1 * g_2 ) * x, \forall g_1 , g_2 \in G,x \in X

几个例子：

  • ⽐如 Sn↷1,2,⋯,;S_n ↷ {1,2, ⋯ , ;}。

  • 再⽐如 G↷GG ↷ G，G对⾃⾝的左乘作⽤。

  • 再⽐如ํ Dn↷{有标号的正n边形}D_n ↷ \{有标号的正n边形\}。

  • 设L为有标号的正四⾯体，则有：
    Isom+(T)↷TIsom^+(T)↷ T;
    Isom(T)↷TIsom(T)↷T;

  1. 轨道：首先我们定义一个二元关系：x−yx-y（不是减号）就相当于是 ∃g∈G gx=y\exists g\in G ~gx=y。这个二元关系显然是一个等价关系（两边同乘逆元），这二元关系一定要满足某一些性质就比如:

  • 这个二元关系要满足自自相关

  • A−B,B−AA-B,B-A两个是需要相互满足的

  • A−B,B−C那么C−BA-B,B-C那么C-B，传递性。那么轨道就是指这个二元关系传递下去之后所形成的一个类似于等价类的东西

    所以x所在的等价类记为 Gx=Ox=ax∣a∈GG_x = O_x = {ax|a ∈ G}，称为x的轨道

    若X只有一个G轨道，则称G在X上的作用传递或可迁

  • 稳定化子：Gx=StabG(x)=(a∈G:ax=x)G_x=Stab_G(x)=(a\in G:ax=x) 成为x的稳定化子，易见Stab(x)是G的一个子群.

  1. 幺元必定在其中

  2. a,b∈StabG(x),a∗b∈StabG(x)a , b \in Stab_G ( x ) , a * b \in Stab_G ( x )。所以乘法封闭

  3. 1∗x=x,g−1∗g∗x=g−1x1 * x = x , g ^ { -1 } * g * x = g ^ { -1 } x 所以逆元也在

证毕

引理：∀x∈X,g∈G,Stabg(gx)=gStabG(x)g−1\forall x\in X,g\in G,Stab_g(gx)=gStab_G(x)g^{-1}

轨道-稳定化子定理：现设有群作用 G↷XG↷X,则 ∣Ox∣=[G:StabG(x)]|O_x|=[G:Stab_G(x)],进而有 ∣G∣=∣StabG(x)∣∣Ox∣|G|=|Stab_G(x)||O_x|

证明:

设 H=StabG(x)<=GH=Stab_G(x)<=G 那么我们做G的H-陪集分解：

G=a1H⋃a2H⋃a3H⋃…⋃akHG=a_1H\bigcup a_2H\bigcup a_3H\bigcup…\bigcup a_kH

则：Ox=a1Hx⋃a2Hx⋃a3Hx⋃…⋃akHx=a1x,a2x,a3x,…,akHO_x=a_1Hx\bigcup a_2Hx\bigcup a_3Hx\bigcup…\bigcup a_kHx={a_1x,a_2x,a_3x,…,a_kH}

故：∣Ox∣=k=[G:H]=[G:StabG(x)]|O_x|=k=[G:H]=[G:Stab_G(x)]

由 ∣G∣=∣StabG(x)∣[G:StabG(x)]|G|=|Stab_G(x)|[G:Stab_G(x)] 有 ∣G∣=∣Ox∣∣StabG(x)∣|G|=|O_x||Stab_G(x)|

Burnside’s Lemma

定义：设有群作用 G↷XG↷ X，则X内的G-轨道数为G中元素的平均不动点个数，即：1∣G∣∑g∈G∣Xg∣\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|,
其中，XgX^g 表示X在g下的不动点，即：{x∈X:gx=xx\in X:gx=x}

例子：现在有个正6边形，需要给每个顶点着⾊，问在旋转同构意义下有多少本质不同的着⾊⽅案。

我们明确一下我们的群：{0,60,120,180,240,3000,60, 120,180, 240, 300}（由于我不会加单位

所有的染色方法应该是 262^6，在旋转60度的时候应该有一个轨道，就是两种染色方案，120的时候两个轨道，180时3个，240时2个，300时1个，所以总共应该是 64+2+4+8+4+26=14\frac{64+2+4+8+4+2}{6}=14 种

Pólya’s theorem

具体⽽⾔，G≤SnG \leq S_n 对于G ↷ {1,2, ⋯ , ;}并且给{1,2, ⋯ , ;}着⾊这种问题，假设颜⾊数为c，则对⼀个排列{aia_i}来说，记它的轮换个数为k，则它的不动点个数为 ckc^k)。

事实上，任意⼀个⼤⼩为n的群都同构于 sns_n 的⼀个⼦群。（Cayley定理，考虑左乘作⽤)。

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